【数学论文】数学归纳法的应用能力

摘要：数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，也是一种特殊的论证方法，它在数学各个分支都有着广泛的应用。在数学学习过程中归纳法应用一直是教师教学的一个主要手段之一，其思想与方法可以有多方面的体现，在学习应用当中具有较深远的意义。

关键词：数学归纳法 思想 应用 能力

引言

　　归纳法，即通过对一些特例或简单情形进行观察与综合以发现一般规律的一种科学思维方法，其基础在于实践与观察，被著名的美籍匈牙利数学家波利亚称为科学家处理经验的方法.作为数学研究的基本方法之一，归纳法常用于数学发现，其过程体现了数学的创造与再创造过程.归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定可靠.而完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，且得出的结论是可靠的.因此，当涉及的问题是与自然数有关的数学命题时，先用不完全归纳法猜想规律，后用完全归纳法证明其正确性.数学归纳法的精妙之处在于用两个命题的证明代替了无数个命题的证明，充分体现了有限与无限的辩证关系.在教学中，学生往往机械地套用两个步骤解题，对数学归纳法的内涵缺乏真正的理解.本文结合自己的对数学归纳法思想的理解实践，浅谈数学中的归纳法思想及其应用。

1、数学归纳法的概念

　　 数学归纳法(Mathematical Inducaion，通常简称为MI)是一种数学证明方法，经常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外，广泛意义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，比如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用十数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。尽管数学归纳法的名字中有“归纳”二字，但不严谨的归纳推理法不包括数学归纳法在内，它是属十完全严谨的演绎推理法。

　　 该方法主要用来研究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明数列通项公式和等式成立成立。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立。最早使用数学归纳法来证明的的人是Maurolic，他利用递推关系巧妙的证明出了前n个奇数的总和是n2，由此揭开了数学归纳法之谜。

2、数学归纳法的理论依据

　　 一般地说，数学归纳法的两个步骤可以概括为:

　　 (1)证明当n =n。时命题成立;

　　 (2)假设当n=k(k n。,k N*)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立.

　　 根据(1)和(2)，可以断定命题对于从n。开始的所有自然数n都成立.

　　 用数学归纳法证明时，为什么完成了上述两个步骤后，就可以断定命题对于从n。开始的所有自然数n都成立呢?

　　 这是学生的迷惑之处，教师要把这个问题讲透.因为用数学归纳法证明的一般命题包含着无数多个特殊命题.若将用数学归纳法证明的一般命题设为:己知n , n。k N*，证明结论M(n)成立，则它包含着无数多个特殊命题的全体:

　　己知n =n。，证明结论M(n。)成立; ①

　　己知n =n。+1，证明结论M(n。 + 1) 成立; ②

　　己知n= n。+2，证明结论M(n。 + 2) 成立; ③

　　……

　　 第二个步骤的作用是证明了命题M(n)的成立对于自然数n具有传递性，即由n=k(k n。, k N*)时结论M(k)假设成立，可推得结论M(k+1)成立.其具体表现是:由①成立，可推得②成立;由②成立，可推得③成立;……

　　 因为在第一个步骤中，己经证得①成立，再结合第二个步骤，这样就说明了无限多个特殊命题都成立，由此推得原命题成立.至此，运用数学归纳法证明某些与自然数有关的数学命题的原理，应该说己经直观明了了.

　　 但是，数学归纳法两个步骤的理论依据又是什么呢?它源于何处?只有理解数学归纳法的理论依据，才能凸显这种证明方法具备理论的严密性和应用的广泛性.数学归纳法两个步骤的理论依据来源于自然数集合公理的归纳公理，即如果一个由自然数组成的集合含有1，又当这个集合含有任一自然数n时，它也一定含有n的后继数，则此集合含有全部自然数.上述公理是意大利数学家皮亚诺在1889年提出的.根据归纳公理，我们要证明与自然数集有关的命题P成立，只需证明两点:先证明命题P对于自然数n。成立，这是数学归纳法的第一步;然后证明假设命题尸对于k成立，由此推得命题P对于自然数k+1也成立，这是数学归纳法的第二步.由此可见，用数学归纳法证明时，只要完成了上述两个步骤，就可以断言命题对于从n。开始的所有自然数n都成立。

3、数字归纳法的思想本质

　　 思想反映在人的意识中，是客观存在，经过思维活动而产生的结果。现实世界在数学里的反映是能动的，数维能动的自由创造，是来自往常经验的一开始的概念和原理有所意识并合乎逻辑学思的发展。数学归纳法的演绎推理是在归纳基础上成立的，演绎推理在数学中归纳基础上的是普遍存在的，并且不仅仅是局在于数学归纳法上。比如，在学习三角形内角和定理时，老师经常是通过让学生先用量角器测量三角形的各个角的度数，然后再来进行相加。经过测量几个三角形之后，都会得出其三个内角之和为180度。这种认识事物的方法称为归纳法，但是通过此种方法得出来的仅仅是经验，不一定是真理，如果要使归纳出的结论成为真理，就一定要通过演绎证明。归纳与演绎是对立统一存在的，归纳有利于发现事物的真理，而演绎则有助于揭示事物其内在的联系，使我要们认识事物的本质，就要和谐地将归纳与演绎这两种认识世界的基本方法统一在数学归纳法之中。

4、数学归纳法的应用

　　 用数学归纳法证明，要完成两个步骤和一个结论.证明第一步是比较容易的，有时只要验证一下即可.而证明第二步的关键在于:一要充分用好归纳假设;二要做好命题从n =k到n=k+1的递推转化，这个转化要求从n =k到n=k+1时命题的结构形式不变.在解题过程中，学生主要存在两方而的困难，一是当命题从n =k到n=k+1时，若增加的项不是1项，不少学生不能正确写出表达式，二是不能灵活进行转化.下而举例说明用数学归纳法证明的思路及一些常用方法。

　　例1 证明: （n N*）。

　　 分析 当n =1时，命题为真。设表示原式的左边，f (n)表示原式的右边，则原式为= f (n)。命题从n =k到n=k+1递推转化的途径是:=.其中=f（k）是归纳假设，f （k）与f（k+1）的结构形式要相同，因此需要通过恒等变形证明等式f(k)+=f(k + 1)成立。

　　例2 证明:1+（n N*）。

　　 分析当n =1时，结论正确.由分母的变化规律，当n =k时，原式左边不是k项，而是有项;当n=k+1时，原式左边不是k+1项，而是有项。设表示原式左边，f (n)表示原式右边，则命题从n =k到n=k+1转化的途径是：。其中s（k）=是归纳假设.要使f （k）与f（k+1）的结构形式相同，先将s(k)中的项都换成，再把f(k) + s(k)缩小为f(k)+，从而实现递推转化.需要指出的是，用数学归纳法证明与不等式有关的命题时，常用基本不等式进行放缩转化。

　　例3 己知为两两各不相同的正整数，证明:对任何正整数n，有+…+ 。

　　 分析 当n =1时，命题为真.假设当n =k时不等式成立，那么当n=k+1时，利用归纳假设有+…+ .

　　 显然，当时，就能顺利转化;而当时，则转化受阻.因为u是两两互不相同的正整数，如果，那么在中必有一个(1)大于或等于k+1，设法把与交换一下，就能使转化顺利进行.具体操作如下:当,因为在中必有一个(1),设毛:毛k)，设=+（，显然，在和式+…+中，因为==，所以可以把和式前面的k项中的替换成，把差额部分放到最后去，其和不变.此时前而k项的分子仍符合两两各不相同的正整数的条件，可以利用归纳假设递推转化。

　　例4 证明: +15n一1(n N*)能被9整除。

　　 分析 当n =1时，命题显然成立.假设当n=k(,k N*)时命题为真，那么

　　 f（k+1) =+15n一1= f (k)一60k +4+15（k+1)一1=4f（k)一9(5k一2).

　　 第一项由归纳假设能被9整除，第二项显然能被9整除.故f(k+1)能被9整除，这就是说当n=k+l时命题也为真。

　　 由例4可知，一些整除性命题都可以变换成f(k + 1) =A(k)f(k) + B(k)的形式，其中A(k)f(k)是归纳假设部分，能被正整数P整除，若B (k)明显能被P整除，从而推出f (k + 1)能被P整除。

5、数学归纳思想的重要性

　　　随着社会发展和工作的需要，在教学中能力的培养越来越被重视。能力不同与知识，例如，在一类数学归纳法的学习中，学生懂得数学归纳法，知道其具体的步骤和过程，这就是知识。而判断什么时候用数学归纳法，如何区分构造归纳方法更加简便，这就是能力。学生能力的大小在于他的思维能力，因此，发展思维能力，尤其是归纳创造思维能力是培养能力的核心，影视学生学会分析、归纳、概括、综合、演绎、类比、抽象等主要的思维方式。

　　　学生应该以学习为主体，培养学生综合归纳、独立思考的思想，使给与他们的最好的礼物。还要使其养成独立思考的习惯，不能养成依赖的思想，一旦遇到问题就问。还有运算能力在数学归纳思想中也尤为重要，运算是学习的基本能力，对于数学归纳法还有一个突出的问题就是准确性差，算法不合理。数学归纳法思想也是种一种综合能力的体现，是逻辑思维能力与计算技能和技巧的结合.而且还与记忆能力、归纳能力、推理能力、理解能力、表达能力以及空间想象能力相互之间渗透形成的一种综合能力。

总结

现代数学已经突破了传统意义科学知识的约束，逐渐成为一项普遍使用的技术，与人类生活的各个相关领域都开始交融，可以说在信息收集、整理、表述、创新、沟通等人类发展文化中处于关键角色。数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，也是一种特殊的论证方法，它在数学各个分支都有着广泛的应用。从数学归纳法的思想方法，可以体会到人类思维无限徜徉精灵般的魔力;从数学归纳法简洁证明格式与镇密周详过程的辩证统一，可以领悟到哲学思想无处不在的深刻，这也是数学归纳法蕴涵的文化内涵。

参考文献：

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