泰勒公式及其应用

引言
在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。

第一章 泰勒公式
1.1 泰勒公式的背景及意义
英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。
在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。
泰勒公式的意义是：一个多项式 ，它是函数 关于 的n次多项式，用它与函数 作差后所得的是比 高阶的无穷小，并给出其误差 ，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。
泰勒公式是由 关于 的n次多项式 以及余项 组成的，下面来探讨一下：
当 时，有

是 的曲线在点 处的切线（方程），称为曲线 在点 的一次密切[2]。显然，曲线和直线差别还是相对较大的，直线只是曲线的近似。
当 时，有

是曲线 在点 处的二次切线，称 的曲线在该点的二次密切[2]，则曲线和二次切线的接近的密切程度比切线好。
从而可以看出，当给出的函数的次数越来越高，以及它的二次切线与曲线的接近程度越来越好越密切时，其近似程度也就越来越高。
1.2 泰勒公式的定义及展开式
1.2.1泰勒公式的定义
定理1任意一个函数 ,若函数 在 点n阶可导，该函数不一定是多项式函数，总能写出一个与之相对应的n阶多项式的形式

称为函数 在 的n次泰勒多项式。
若函数 在 存在n阶导数，则 ，有

称为函数 在 的n次泰勒公式。
其中 ，及 是比 的高阶无穷小。特别的，当时 （函数 在0存在n阶导数），可得

称为麦克劳林公式。
1.2.2 泰勒公式的证明
证法：由高阶无穷小的定义，有
,
这是 的待定型，应用 次洛比达法则求解。
证明：
，
，
，

.
(对它已经不能再求导数)当 时，显然， ， ， ， 以及 都是无穷小，于是由洛必达法则，有

.
1.2.3泰勒公式几种常见的展开式
泰勒公式在 =0时称为麦克劳林（Maclaurin）公式，麦克劳林公式是泰勒扩张的一种特殊形式，这为我们解决函数的很多问题起到了极为重要的作用。下列是一些常用的初等函数的麦克劳林公式：
， .
, .
, .
, .
, .
1.3 泰勒公式的各种余项
泰勒公式的余项可以写成如下几种形式：
1.3.1 佩亚诺（Peano）余项
.

1.3.2 拉格朗日（Lagrange）余项
.
1.3.3 柯西（Cauchy）余项
.
1.3.4 积分余项
.
以上诸多余项事实上很多是等价的，泰勒公式的余项一般分为两类，其中一种是定性的，另一种是定量的，虽然它们的本质相同，但是它们的性质各异。定性的余项如佩亚诺（Peano）余项，表示余项是比 （当 时）高阶的无穷小，定量的余项有拉格朗日（Lagrange）余项，柯西余项，一般用于函数值的计算和函数形态的研究[2]。当然，应用不同的泰勒公式余项解决同一类问题时，计算所得的估计误差可能会不同。

第二章 泰勒公式的应用
2.1 求函数的极限的应用
例2.1.1 求 .
分析：这个极限的变量的变化过程是 ，属于 型，但是用洛必达法则法则来计算已经不适用了，分母的 已经是 的次幂形式，而 可以利用等价无穷小即 ，将分子的 和 展开成泰勒公式，然后通过相应的比较最终求出极限。
解：因为当 时有

把 换成 可得
,
,
所以 ,
代入极限之中，有
.
例2.1.2 求 .
解：因为分母的次数为4，所以要把 ， 展开到 的4次幂即可。
当 时有
,
所以

,
又 ,
故 原式 .
同时我们也可以用泰勒公式求函数无穷远处的极限。
例2.1.3 已知函数 在 上二次连续并可微，假若存在 ，且二阶导数 在 上有界，证 .
证明：要证明 ，即要证明： ， ，当 时 .利用泰勒公式， ，
，
即 . （1）
记 .因 有界，所以 ，使得 （ ）.故由（1）知
, （2）
，首先取 足够小，能够使得 .接着将 固定。因为 ，固 ，当 时
,
从而由（2）式即得
.
[评注]通过上述的例子我们可以知道，在数学分析中，求函数的极限有许多种方法，比如定义法，洛必达法则等等，其中，关于比较复杂的函数可以使用泰勒公式求极限，这是一个极为有效的方法，经过使用泰勒公式求函数的极限会变得非常简单。由例2.1.1和2.1.2可知，在利用泰勒公式求极限问题时，一般可以用麦克劳林公式，并采用佩亚诺（Peano）余项，同时不需要对余项进行估计，若所求的极限是分式的形式时，我们将分式的分子和分母都展开成为同一阶的麦克劳林公式，最后通过相应的对比求出极限。其一般步骤是，先验证函数表达式中分子分母的各个函数是否满足泰勒公式的条件，其次用泰勒公式判断分母无穷小的阶数，最后把分子上得函数写成泰勒公式。
2.2 在近似计算上的应用
在进行一些近似计算时，我们可以利用一阶泰勒公式
，
其余项是
,
一般来说泰勒公式是拉格朗日的推广，我们可以用其前两项来做近似计算即微分近似公式 ，其余项就可以用来估计误差[3]。
例2.2.1 求 得近似值，并估计误差。
解：先求出函数 在 处的一阶泰勒公式，由于
, , ,
得
.
因为 0.97，故选 =1， 0,03，代入上式可得
,
其中 ，从而
0.9850.
利用余项估计误差如下：

,
所得到的 的近似值0.9850为强近似值，且
,
故 的三位有效数字近似值为0.985.
[评注]这个例子告诉我们，泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，从而对于我们求一些函数的近似值，或者根据其误差确定变量的范围起了很多的作用[3]。
2.3 在不等式方面的应用
已知函数某阶导数的符号时。
例2.3.1[2] 设 在 上连续，在 内 ，证明：对于任意的 ，且 ，有
.
证明：由题意可将 在点 处泰勒展开
,
其中 ，将 ， 分别代入可得
， , （1）
， , （2）
由 ，又因为 可得
,
因为 ，所以上式右边的第二项大于0，从而可得
,
已知某函数有界时。
例2.3.2 设函数 在[0,2]上二阶可导，且 ， ，证明：在[0,1]上必有 .
证：把 ， 在任意点 [0,2]展开成一阶泰勒公式，从而有
， ,
， ,
故 ,
因为 ， ，所以

,
又函数 在 和 上有一样的最大值，即 ，于是
.
[评注]由上述两个例题可以看出，泰勒公式还能够用来证明不等式，解决一些不等式方面的问题，对于一些函数具有二阶以及二阶以上的导数，并知道其最高价导数的正负或上下界时，我们可以用泰勒公式来证明不等式。证明的思路一般是：先写出去已知条件给出的最高价导数阶数低一阶的泰勒展开式，恰当的选择等式两次的 和 ，有时候展开点不一定为 ，有时候可以为 ，然后根据所给的高阶导数的大小或界来对展开式进行缩放[4]。
2.4 判断级数及积分收敛中的应用
例2.4.1 设 ，讨论 的敛散性。
解：根据Peano余项的泰勒公式

（当 时）
因此 当且仅当 时收敛。
[评注]一般来说，级数与无穷积分有着密切的关系，对于级数敛散性可以用泰勒公式来进行判断，无穷积分的敛散性也同样具有这样的判别方法，在确定广义积分 的敛散性，一般是与 （ ）进行对比， 中的p值一般是通过研究无穷小量 （ ）的阶来有效的判断，从而能够判定 的敛散性情况。
例2.4.2 讨论无穷积分 （ ）的敛散性。
解：设 ,
从而

.
选取 ，因为
,
而 ，所以由无穷积分敛散性判定定理可知 ，（ ）收敛。
[评注]由上面的例子可以看出，利用泰勒公式把一些级数 的通项 近似的表示成幂级数如 和 等等的线性表达式，用它们的高阶无穷小来表示误差，然后根据级数收敛的判断方法来判断 和 的收敛情况，从而可以判断出 的敛散性[5]。
2.5求函数高阶导的应用
例2.5.1 设 ，求 .
解：由麦克劳林公式可知
,
从而可得
，
即
，
于是
.
又因为函数 在0的泰勒公式展开到 为
,
并由麦克劳林公式的唯一性得
,
从而可得 .
[评注]从上述例子可以看出，一般的，当 在点 处具有任意高阶导数时，我们可以由泰勒公式的定理推出当且仅当 时， 在点 有泰勒展开式
，
从而，若求出 在点 处的n阶导数值，可以将 在点 做泰勒展开，就可以求出 [6]。
2.6 判断函数的极值点的应用
定理2.6.1 [7]（极值的第二判定法）若函数 在 存在n阶导数，且
， ，
（1） n是奇数，则 不是函数的极值点，
（2） n是偶数，则 是函数的极值点：
当 时， 是函数的极小点， 是极小值；
当 时， 是函数的极大点， 是极大值；
例2.6.1 若函数在 内一阶可导，在 二阶可导，且 ， （ ，是偶数），则
（1）当 时，则 是极小点；
（2）当 时，则 是极大点.
证明：若函数 在 存在二阶导数，则可将 展开在 处的二阶泰勒公式

由已知条件， 是函数 的稳定点，又 ，有
, （1）
因为 ，（1）式中等号右边的第二项 是比 无穷小（ ），所以当 充分靠近 时，即 ，（1）式等号右边的符号由第一项决定。
又 =2是偶数时，有 ，从而可得
当 时， ，有
,
即 是函数 的极小点，
当 时， ，有
,
即 是函数 的极大点。
例2.6.2 讨论函数 的极值。
解：对函数 求导得
,
令 即
,
因为导函数 在R连续且严格递增，且 ， ，则方程仅有唯一解0，即稳定点[8].
则有
， ,
， ,
， ,
从而由定理2.6.1可得稳定点0是函数 极小点，极小值是 .
例2.6.3 试求 的极值。
解：对 求一阶导得
,
令 ，因此x=0，1， 是函数的三个稳定点。则 的二阶导为
，
由此得， ， .因为n=2是偶数，所以由定理2.6.1可知 在x= 取得极小值。
求三阶导数得
，
有 ， ，由于 是奇数，由定理2.6.1可知 在x=1不取极值。
在求四阶导得
,
有 ，因为n=4是偶数，由定理2.6.1可知 在x=0取得极大值。
综上所示， 为极大值， 为极小值。
[评注]当判别函数极值的时候，若不能利用极值的定义以及第一判别法等方法来求解时，我们可以应用极值的第二判别法比较简便（假若函数存在高阶导数），其一般的方法为：首先求出函数的稳定点，即一阶导为零的未知数的值；其次利用函数极值的第二判别法，逐一判断函数各稳定点处函数是否能取得极值。
2.7 在证明中值公式的应用
在数学分析中，我们学过的微分中值定理有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。微分中值定理是利用函数的导数所具备的一些特征，对函数进行研究和计算，其对于研究函数在其区间上的性质有重要的意义。
例2.7.1 设 在 上有三阶可导，试证： ，使得
. （1）
证：设 为使下列式子成立的实数
, （2）
这是，所求得问题可以归纳为： ，使得
, （3）
令 , （4）
则 ,
根据罗尔定理， ，使得 ，由（4）式得
, （5）
这是关于 的方程，则 在点 处的泰勒公式：
, （6）
其中 .比较（5）、（6）式可得
从而
,
[评注] 若解上述的这类题最主要的就是确定辅助函数，例2.7.1使用的是辅助函数法，其中根据辅助函数满足罗尔定理，由定理的结论即得命题的证明。
2.8 在界的估计方面的应用
在解决数学分析的问题中，有许多计算都是涉及到函数的界的问题，我们知道有点函数是有界的，即上界和下界，由于泰勒公式广泛和化繁为简的应用，同样可以应用于函数界的方面的问题。
定义：设函数 在数集A有定义，若函数值得集合
,
有上界（有下界，有界）则称函数 在A有上界（有下界，有界），否则称函数 在A无上界（无下界，无界）[7].
例2.8.1 设函数 在 上三阶可导，并且 和 在 上有界。证明： 和 也在 上有界。
证明：由泰勒公式有
,
取 ，则有
, （1）
, （2）
由 可得
,
所以 ,
其中 ， =0,3 .
由 得
,
所以 ,
故 和 在 上有界。

总结
本文基于泰勒公式的意义，介绍了定义以及余项和我们常见的泰勒展开式，以及总结了泰勒公式在我们解决数学问题中，如求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用，从而发现了泰勒公式的用途很广泛，也对我们解决某些问题时减少了许多工作量。
本人在完成本论文的过程中，对泰勒公式有了进一步的了解，同时我也深深的体会到了泰勒公式的重要性，但在写论文的过程中还是遇到了许多困难，而且由于自己的水平能力有限，本论文还存在着许多不足之处，比如对某些应用只举了一个例子，可能会对泰勒公式这一应用解释的不够准确。对于泰勒公式其他方面的作用，我须有待进一部研究。