一类非线性混合隐变分不等式迭代算法的收敛性分析

摘 要：近年来，随着变分不等式的不断发展，广义变分不等式中有一类对研究经济学、工程学、运筹学和数学物理学等领域中所涉及的各种平衡问题都非常有用的变分不等式，它被称为非线性混合隐变分不等式（简称IMVI）。众多学者努力用高效的、可实现的迭代算法去解决这类非线性隐变分不等式问题。
　　 作者在文中主要对这类非线性隐变分不等式问题进行了以下两方面的研究：
　　 在第三章中，作者在空间上引入了一类只具有一般单调性质的非线性混合隐变分不等式问题。考虑到单调映射的相关性质和预解算子的非扩张性，在证明了IMVI问题等价于求解残差问题之后，我们构造出了一类新的Mann迭代算法，并证明了Mann迭代序列收敛于该非线性混合隐变分不等式问题的解及其他相关结论。
　　 在第四章中，作者在空间上研究了一类更加广义的非线性隐变分不等式问题。并由广义投影算子的相关性质，参照文献[15]中的迭代算法,我们同样构造出了一类新的迭代算法。在此基础上，证明了该迭代序列收敛于隐变分不等式问题的解及其他相关结论。
关键词：非线性隐变分不等式；非扩张映象；Mann迭代算法；广义投影；残差；收敛；

第1章 前言
1.1所选课题的背景、目的及意义
“变分不等式”通常又被人们称作“变分不等方程”，它的英文名为“Variational inequality”。近年来，随着变分不等式的不断发展以及它与人们的实际生活紧密联系，它被广泛地用来解决工程优化，经济学，运筹学和数学物理学等领域中产生的平衡问题。因此，如何稳定、高效的求解变分不等式问题一直是经济学家和数学工作者们毕生研究的热点问题。

1.2 国内外研究动态
　　纵观近些年来众多学者对变分不等式 (简称VIP) 的研究 , 大致可以分为算法和理论两个方面 : 一方面，在变分不等式理论发展过程中，迭代算法是一个非常重要的研究分支。其中，包括投影算法、Mann和Ishikawa等在内的多种算法已经有着广泛的研究和应用。但为了保证迭代算法所产生的迭代序列的收敛性，所以相关的要求条件较高。近年来，众多学者已经对Mann和Ishikawa迭代算法做了广泛的有意义的研究。考虑到Mann迭代算法在计算上比Ishikawa迭代算法更简单，且在满足适当的条件下，Mann迭代的收敛可导致Ishikawa迭代收敛。因此，作者将Mann迭代算法作为本文研究的重点。在本文中，作者首先将变分不等式问题转化为残差问题，然后构造了一类收敛于变分不等式的解的迭代序列，并证明了相关结论。另一方面，在理论方面的研究重点则是更多的将变分不等式进行推广和扩充。例如将变分不等式推广和改进为单值（集值）变分不等式、拟（似）变分不等式、向量变分不等式、隐变分不等式、随机变分不等式等各种类型的广义(或广义混合)变分不等式。近年来，隐变分不等式的理论已成为强有力的工具，在众多学者研究的基础之上，作者在本文中重点研究了一类单值映象下的非线性混合隐变分不等式问题和一类更加广义的非线性隐变分不等式问题（简称IMVI）。
　　　纵观变分不等式的历史发展，1933年Signorini[1]首次导出了一个变分不等式问题，通常，我们把它称之为Signorini问题；上世纪60年代中期Hartman-stampacchia提出了经典的变分不等式问题；1953年Mann[2]首次提出了Mann迭代；1964年G.Stampacchia[3]把 Lax-Milgram定理由Hilbert空间推广到它的非空闭凸子集，从而得到变分不等式的第一个解的存在唯一性定理；1972年 Ky Fan[4]首次由经典变分不等式问题推广得到隐变分不等式问题；1974年Bruch[5]在实的Hilbert空间中研究了Mann迭代序列的收敛性；受Mann迭代的影响，1974年Ishikawa[6]首次提出Ishikawa迭代算法；1976年Korpelevich[7]在广义单调映射下提出外梯度投影算法；1976 年Mosco[8]进一步对隐变分不等式的相关问题进行了研究；1988年Noor[9]研究了一类包含两个算子的广义变分不等式；1993年Noor[10]证明了广义变分不等式问题等价于解Wiener-Hopf方程，并利用这种相互等价性，提出并分析了一系列解广义变分不等式的迭代算法，并得到了迭代算法的强收敛定理；1993年Abler[11]扩充了广义投影算子的定义，并证明了与广义投影算子相关的一些性质，在自反和光滑的Banach空间中，他们得到了广义集值变分不等式和广义集值伪变分不等式的一些新的存在性定理；1995年Liu[12]首次提出带有误差项的Mann迭代和带误差的Ishikawa迭代，且在一致光滑Banach空间中研究了迭代序列的收敛性；1997年Verma[13]在实的Hilbert空间中对一类具有松弛单调映射的变分不等式作了初步研究，并给出了解的存在性定理；1997年何炳生[14]用一种投影算法研究了一类非线性集值变分不等式问题；1998年黄南京[15]用一种新的算法研究了一类非线性集值变分不等式解的收敛性；1999年Wu和Yuan[16]在实的Hilbert空间中进一步对Ky Fan型的非线性隐变分不等式作了研究；1999年张石生[17]在一致光滑Banach空间中研究了一类具有增生映像的非线性变分包含问题，证明了其解的存在唯一性及其Ishikawa迭代序列的收敛性；1999-2005年Verma[18]利用一般迭代算法对隐变分不等式的近似可解性进行了收敛性分析；2001年韩泽、方亚平[19]在Banach空间中引入了一类新的广义集值非线性隐变化不等式，并给出了一些新的等价性；2002年Konnov 和 Volotskaya[20]研究了混合变分不等式和经济平衡问题；2003年黄南京和方亚平[21]研究了一类非线性隐变分不等式问题，并用一般的迭代算法证明了其解的收敛性；2003年何晓琳[22]研究了一类强增生映射下的集值变分问题；2003年张石生[23]在一致等映射下，得到修正的Mann迭代序列和修正的Ishikawa迭代序列的收敛等价性，及其他相关结论；2006年Wu和Huang[24,25]在Banach空间中引入了一种新的广义投影算子,这类算子对解决IMVI问题非常有用；2008年夏福全，丁协平[26]在Banach空间中研究了一类集值混和变分不等式问题解的迭代算法，并证明了该迭代算法收敛于该不等式问题的近似解；2008年 Xia, Huang 和 Liu[27]用次梯度的方法求解了一类广义混合变分不等式问题；2009年Fan[28]等学者得出了有关广义投影算子的一些基本结论，并在Banach空间中用迭代算法讨论了广义变分不等式解的存在性以及近似解的存在性；2009年王继红，何中全[29]在Banach空间中利用辅助变分的技巧，探究了一类广义集值混合隐变分不等式的解的存在性问题，并给出了一种近似解的迭代算法，推广了该问题的近期很多研究成果；2010年Mainge[30]在Hilbert空间中提出了一种容易实现的算法；2011年李曦，黄南京，邹云志[31]在Banach空间中,研究了广义f-投影算子关于集合扰动的稳定性质及其相关的应用问题；2011年He 和 Liu[32]在基于两个协强制映射的前提下，通过构造一个二维投影并求解了一类逆变分不等式问题；2012年Salahuddin和Ahmad[33]研究了一类新的弱集值向量F-隐变分不等式问题；2013年李丽[34]研究了一类广义集值变分不等式与互补问题的算法及收敛性问题。2014年Li, Li和Huang[35]在Hilbert空间中用广义f-投影算子研究了一类逆变分不等式问题，并给出了一个有关交通网络的平衡控制问题。
第5章 结论与展望
5.1 论文的主要工作
　　 在第三章中，在空间上，作者受到文献[21]中黄南京和方亚平利用一类迭代序列收敛于非线性混合隐变分不等式的解的启发。首先，把求解非线性隐变分不等式的解转化为残差问题。其次，构造了一个新的Mann迭代序列收敛于隐变分不等式的解，并对其解的收敛性进行了相关分析，及推广了文献[21]中的结论。
　　　在第四章中，在空间上，作者引用了文献[35]中的一类更加广义的非线性隐变分不等式问题。首先，把求解非线性隐变分不等式的解转化为残差问题。然后，利用广义投影算子的相关性质和参考文献[15]中的迭代算法，构造出了一个含有广义投影算子的新的迭代序列，证明了此迭代序列收敛于该非线性隐变分不等式的解，并对其解的收敛性进行了相关分析。