分数阶泰勒公式及其应用

摘要：本文中提出了一种新的广义泰勒公式，分数阶导数义又称为Grunwald-Letnikov定义。我们先来看整数阶导数的定义。Riemann-Liouville定义是Grunwald-Letnikov定义的扩充，其应用范围也就更广泛。与Grunwald-Letnikov定义扩展到Riemann-Liouville定义的思维方式相似，Caputo定义也是对Grunwald-Letnikov定义的另一种改进。对于函数的正的非整数阶导数，先进行阶导数，再进行阶积分。
关键字：整数阶导数；分数阶导数；泰勒公式；

Abstract: This paper proposes a new generalized Taylor formula, fractional derivative meaning is also known as the Grunwald-Letnikov definition. We first look at the definition of integer order derivatives. The Riemann-Liouville definition is extended the definition of Grunwald-Letnikov, its application scope is more extensive. And the Grunwald-Letnikov definition is extended to similar Riemann-Liouville defined way of thinking, Caputo definition is defined by Grunwald-Letnikov another improvement. For non integer order derivative function, advanced row order derivative, then order integral.
Keywords: integer order derivative; fractional derivative; Taylor formula; Riemann-Liouville
1 引言
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，借助与它我们可以把一些很复杂的函数表示为一些简化的多项式函数，我们就达到了把复杂问题变得简单，正因为如此泰勒公式逐渐成为研究和推导其他相关数学问题的有力工具。作者通过收集阅读大量的参考资料，又进一步通过自己进行了一些运算和证明，最后我又对这些应用型的方法作了比较详细的归类,归纳和总结。
分数阶微积分的研究至今,前后经历了三百多年，但是前期的相关分数阶微积分的研究主要体现在理论数学方面，那么在接下来的很长一段时间内，由于数学问题本身复杂性,致使分数阶微积分的进一步研究受到限制,一部分原因是没有得到科学研究人员的关注，基本上没有与之相关的论文发表，之后分数阶微积分的研究热潮是在二十世纪七十年代，分形几何的发现又使人们对此投以更大热情,后来研究人员发现幂律现象与记忆过程可以与分数阶微积分建立紧密的联系，这一重大发现使得分数阶微积分可以作为一种特殊的描述和刻画工具。得到人们的青睐。
2 泰勒公式及其应用，推导过程
英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡出生，1701年泰勒进入剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家协会会员，同一年因其卓越的表现进入了牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并在两年后再度获得法学博士学位。在1714年成为英国皇家学会第一秘书，1718年泰勒因病辞去这一职务，1717年，他用泰勒定理解出了著名的数值方程。随后在1731年12月29日于伦敦病世。由于工作并考虑到身体健康的原因，在法国访问期间他与法国数学家蒙莫尔多次通信并一起探讨了级数问题和概率论相关一些问题。1708年，经泰勒证明后得出了“振动中心问题”的解，成为数学界人们关注的焦点。随后在1714到1719年短短五年时间内，泰勒在数学上又取得了越来越多地成果，不断为世人所知所熟悉。他的定理著名的“泰勒定理”已大量存在大学课本中。
数学教学中，泰勒公式是作为用函数在某一点的信息描述它附近取值变化情况的公式。如果这一函数在给定的区间内能够达到光滑这一条件的话，并且在已经知道函数在某一点的各阶导数取值的情况下，可以把各阶导数值作为系数，利用泰勒公诉构造一个多项式，来逐步逼近在某一点领域里的函数值。泰勒公式得名于英国著名数学家布鲁克•泰勒。并于1712年首次公开并叙述了这个公式的由来，尽管泰勒公式得特例早被詹姆斯•格雷高里论证过。
3 Riemann-Liouville型分数阶导数微分方程变换法，分数阶导数
本文是在Riemann-Liouville分数阶导数的广义Taylor公式的基础上，建立了求解Riemann-Liouville分数阶微分方程的微分变换方法。本文所建立的基于Riemann-Liouville分数阶导数微分方程变换法给求解Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程提供了一种新工具。
3.1 分数阶导数的定义
1695年,法国的L ’Hospital询问Leibnitz:“当在导数的阶数为分数的情况下如何理解呢?”这次询问刚好距离 Leibniz发表他的首篇微积分论文1年，从当时的情况来看它显然是一个很难回答的问题。虽然如此Leibnitz还是在1695年9月30日给予了L’Hospital答复，在说完了一些似是而非的猜测以后 ，他写道“ 你可以这样看，分数导数可以在两个整数阶导数的阶数之间引入某种插入法( interolation ).这一点尽管也处于猜测中,但毕竟用现在的手段做到了,这封信曾经在历史上不仅仅是一次公开发表过.此后大致分为三个阶段 ：
( 1 )自L‘Hospital与 Leibninz从1695年通信到1812年的一百多年的时间里,分数微积分仍然只是作为纯数学的一些讨论和猜测．并无人给出正确的描述.
( 2 )1812 ～1974年,这期间从逐渐提出分数微积分有关概念,包括定义名词 ,到给出确切定义和性质,虽然推导出来的数目有限,但在实际应用方面还是得到了有效的验证.并于1974年出版了第一本分数微积分的专著。然后是1812年Laplace用积分定义了一个分数阶的导数,1812年他首次提到“任意阶导数”这一分数阶导数，简单来讲就是对整数阶导数理论的推导。
( 3 ) 1974年以后,分数微积分与分数微分方程在应用和理论上都有了很好的发展，应用面越来越宽,出现了许多名著和论文集,开始呈现全面推广常微分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论的局面。这里仅提一下后续的一次著名国际会议 ：1984年在英国格拉斯哥召开了第二次国际分数微积分会议。会议提出一些公开问题,其中之一是 ：“可否给出非整数阶分数导数的几何解释?”
在1695年，Leibniz给L’Hospital写了一封信，问：“整数阶导数的概念能否自然地推广到非整数阶导数。”L’Hospital对这个问题感到很好奇,回信时候他反问了一个比较简单的问题；“假如求导次数为二分之一，那么会是怎样的情况呢？”这一年的9月30号，Leibniz给L’Hospital的回信写到：“这将会导致悖论，不过总有一天会得到结果。”1695年9月30日被公认为分数阶微分的诞生日.
在1695年，在分数阶微积分经历了三百多年的研究之后。我们知道早期分数阶微积分的研究主要存在于理论数学领域，在往后很长的一段时间里，基本上没有与分数阶微积分相关的文章发表过，二十世纪七十年代分数阶微积分的研究进入热潮，主要原因是因为研究人员发现了分形几何，密率现象与记忆过程等相关现象或过程能够与分数阶微积分建立起密切的联系，分数阶微积分可以作为一种良好的描述与刻画手段。
3.2 Riemann-Liouville分数阶导数
分数阶导数的概念可以追溯到1695年，当时l’Hospital问了一个著名的问“导数在时表示什么意思？”从那以后数学上产生了分数阶微积分学这一分支。它是对通常所说整数阶导数的应用推广，其基本思想是将分数阶导数看成是某个积分的逆运算。Riemann-Liouville分数阶导数的定义。
5结论
分数阶导数主要具有以下优点：
1. 分数阶导数的全局相关性较强,使之能突出地体现系统函数发展的过程；相比较而言整数阶导数受到一些限制了，不适合对其进行描述。
2. 分数阶导数模型避免了经典整数阶微分模型在理论与实验结果结合方面的严重缺点，使之达到了很好的预期效果。
3.在描述与数学相关的物理力学问题时，我们知道分数阶模型比非线性模型在物理意义方面描述更加明确,表达更加直接。分数阶导数的定义有待争议，致使分数阶导数的定义有很多种，至今还没有达到一个统一的准确规定。