几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用

几何是中学数学课程里的传统主要内容之一，不仅仅是因为它对培养人的逻辑思维能力、推理论证能力具有重要教育价值，更是在现代科技中也有重要的地位，因此学习几何和几何教育受到了全世界的广泛关注，然而几何的教育在我国的中学生身上总存在很多困难，畏惧几何。由于数学向来有着枯燥乏味的坏名声，它的高度抽象和概括性，严谨的逻辑思维让一部分人在小学就开始觉得它晦涩难懂，在中学的几何更是严格的逻辑要求使学生觉得学习几何太难太抽象了。现在的学生缺乏学习的主动钻研和创新精神，动手能力差，都习惯与一步一步的跟着老师的套路学习，不会画图、不会看图，同时书上的图形没有进行研究和利用，反而成了学习的障碍，不善于与周围的实际生活联想，解决问题的意识淡薄，还停留在只会做现成题的水平，思维和眼界狭隘。本为主要通过对一些中学里常见的几何图形的内接正方形的作图方法及其应用的整理和研究，从而使之成为几何学习有趣的一个例子，在学习几何不仅仅是书本上的东西，每个有兴趣的同学可以通过自己的看法和想法去研究相关的东西，这与我们想要的创新有着密切的联系，达到激发更多的人喜爱和研究几何这门学科，希望给读者以启发。

1几何学的起源及其发展

几何是数学的一门分科，在古代埃及为兴建尼罗河水利工程，曾经进行过测地工作，使它逐渐发展成为几何学。公元前约三百年，，古希腊数学家欧几里德把前人生产实践中长期积累的几何学的研究加以整理总结为演绎体系，写成了《几何原本》。我国对几何学的研究也有悠久的历史。早在上古时期，我国劳动人民就已利用规矩来制作方圆。秦汉五百年成书的《周髀算经》和《九章算术》中，对图形面积的计算已有记载，刘徽、祖冲之、王孝通等对几何学都有重大贡献。十七世纪欧洲工业迅速发展起来，以前所用的几何方法不能满足实际需要，这就使笛卡尔利用代数方法研究几何问题，建立了解析几何。在十八、十九世纪，由于工程、力学和大地测量等方面的需要，产生了画法几何、射影几何和微分几何。在十九世纪二十年代，产生了非欧几何。二十世纪以来，理论物理，特别是相对论的出现，又促进了微分几何的发展。

2 扇形的内接正方形

2.1扇形内接正方形的定义

如果一个正方形的所有顶点都在扇形的边界上，则称这个正方形为该扇形的内接正方形。根据“抽屉原理”，该扇形的内接正方形的四个顶点必有两个顶点在扇形的弧上（或半径）所在的线段上，这时称正方形为该扇形的弧（或半径）上的内接正方形。

2.2扇形弧上的内接正方形画法

①如图1，连接AB，以AB为正方形的一边向外作正方形ABCD；
②连接 C、D ， C与弧AB交于F， D于弧交于E，连接EF；
③过E作EF的垂线EH交 A于H，过F作EF的垂线FG交 B于G；
④连接GH，则四边形EFGH为扇形弧上的内接正方形。
证明：
由做法可知， A= E= F= B，
∴EF∥CD，
∴△ FG∽△ BC，△EF ∽△ CD，△ EH∽△ AD，
∴ = = = = ，
∴FG=EF=EH，
又EF⊥GH，
所以四边形 为扇形的内接正方形。
2.3扇形半径上的内接正方形画法
①如图2，连接AB，以AB为边，向三角形 AB外作正方形 ；
②连接MB、NB于 A分别交于H和I；
③过点H和I分别作 A的垂线，交AB于G，交 B于J；
④连接GJ，则得到四边形HIJG；
⑤连接 G并延长 G交弧AB于F，过F作 A的垂线交 A于E，过E作FC平行于 A交 B于C，过C作CD垂直于 A，则四边形CDEF是扇形半径 A上的内接正方形。
证明：
由作法可知，四边形HIJG是三角形 AB的内接正方形（在上文三角形的内接正方形已证）。
又∵△ HG∽△ EF，△ GJ∽△ FC，
∴ = = ，
∴ ，
即四边形 是扇形的内接正方形。

3扇形内接正方形的性质及其应用
定理1 扇形的内接正方形有两种（这里的扇形的圆心角 ∈（0, ]）内接正方形，那么这个扇形的最大内接正方形是那个呢？又是一个怎么的值呢？为了弄清这个问题，用特殊到一般的方法来研究。
先来考察圆心角为 、半径为R的扇形的内接正方形面积最大。分两种情况来讨论：
如图3，扇形的半径上的内接正方形,设∠DOE= ,显然 ∈（0， ），则正方形DEFG的面积S=DE•EF=R •（R – R ）= R ( + – )= R •［ ］，由于ω∈（0， ），2ω+ ∈（ ， ），所以当2ω+ = 时，即 时，正方形的面积最大S= 。
如图4，扇形弧上的内接正方形，设∠COE= ，显然 ∈（0， ），则正方形DEFG的面积S=DE•EF=2R •（R – R ）=R ［2 – ]，由于ω∈（0， ）， ∈（ ， ），当 = ，即ω= 时，正方形的面积最大S=（2- ）R 。
则 （2- ）R =( 2+ )R ，由于 2+ = – = ＞0，且R时大于0的，所以在同一个扇形的两种内接正方形的面积以在半径上的内接正方形面积最大。
b现在考察圆心角 、半径为R的内接正方形的面积的情况。分两种情况来讨论：
如图5，扇形半径上的内接正方形，设∠AOC=ω，显然ω∈（0， ），则正方形的面积S=CA•AO=R •R = R ，由于ω∈（0， ），2ω∈（0， ），当2ω= ，即当ω= 时，正方形面积最大为S= R 。这时可以看出点C时弧DE的中点。
如图6，扇形弧上的内接正方形，则正方形ABDC的面积S=CD•DB=2R •（R ）=2R （ – ）=2R （ – ）=R ［ -1］，其中∠ = ,显然 ∈（0， ）， ∈（ ， ），故当 = 时，即ω= 时，正方形的面积达最大为S=( )R 。这是可以看出点G时弧EF的中点。
又①②可知，圆心角为 半径为R的扇形内接正方形以边落在半径上的内接正方形的面积大。
定理2 圆心角θ∈（0， ］，半径为R的扇形的内接正方形中是以边落在半径上的内接正方形的面积最大，其值可表示为 R 。
证明：在上边，已经证明两个特殊圆心角的内接正方形面积大小的情况了，现在只需来证明一般情况。
一种情况，如图3，正方形的面积S=DE•EF=R •（R – ）=R （ – ）=R ［ – （1- ） ]= （ + – ）= R ［ – ]，其中 ，所以当 ，即 = 时，正方形的面积最大是S= R •（ – ）= R • = R • = R 。
另一种情况，如图4，可以认为是图3的这组合结构，可以直接利用上边已经得到的结论，所以可知正方形的面积为S=2•（ R ）=R 。
现在来考察 = R – R =R （ ）=R （ ），令 = ，则有 – ，而0＜θ≤ ，所以0＜ ≤ ，所以0＜ ＜1，故k＞0。也就是说，扇形的圆心角 ∈（0， ]，半径为R时，其内接正方形的的面积最大是边落在半径上的那个正方形。
证毕
4三角形内接正方形的作法
4.1三角形内接正方形的定义
三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有四个顶点，而三角形只有三条边，所以，正方形肯定有两个顶点在三角形同一条边上，即三角形的内接正方形必有一条边和三角形的一边重合。
4.2 三角形内接正方形的几种画法
作法1
如图7，在锐角三角形ABC作其内接正方形。首先在AC边上取一点F，过点F做BC的垂线交BC于E，连接EF，以EF为正方形的边长作正方形EFDG，连接CG并且延长CG使CG交AB于I，过I作IJ⊥BC，过I作IH⊥IJ交AC于H，过H作BC的垂线交BC于K，则四边形IJKH为三角形的内接正方形。
证明:∵ FG∥HI，
∴ △CFG∽△CHI，
∴ ，
同理有 。
∴ 。
∵ FG=FE，
∴ HI=HK
∴ 矩形IJKH是三角形的内接正方形。
作法2
如图8，在锐角三角形ABC作内接正方形。以BC为正方形的一边，向外作正方形BCIH，连接AH、AI，分别交三角形边BC于点F、G，过F作EF⊥BC，交AB于E，过G作GD⊥BC交AC于D，连接DE，则四边形DEFG是三角形ABC的内接正方形。
证明：由作法可知，EF∥DG，
∴ △ACI∽△ADG，△AFG∽△AHI，△ABH∽△AEF，
∴ ，
∴ DG=GF=EF,
即四边形DEFG是三角形ABC的内接正方形
作法3
如图9，在锐角三角形ABC作其内接正方形。作BC边上的高AH，将高AH分于K，且使 ，过K作DE∥BC交AB于E，交AC于D，过E作EF∥AH，过D作DG∥AH，得到的四边形DEFG就是三角形的内接正方形。
证明：由作法可知ED∥BC，
∴ ⇒ ，
又 ，两边相乘，得 • = • ⇒ ，而 ，两边相乘，得 = ⇒ 。
即DE=KH，则DE=KH，又DE=FG，
∴ HK=EF=GD，
∴ DE=DG=GF=EF，
又AH⊥BC，所以四边形DEFG是三角形的内接正方形。
4.3三角形内接正方形的性质及其应用
定理1 只要知道正方形一边落在三角形的一边上的边长和这边上的高，就可以求出其内接正方形的面积。
证明：如图10，正方形EFGH是△ABC的内接正方形，其中BC=k，BC边上的高AD=h，则正方形EFGH的面积一定可以用关于k和h的表达式表示。
证明：设正方形EFGH的边长为x，
∵ GH∥BC，
∴ △HAG∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
定理2 在三角形中，边长最短的边上的内接正方形的面积是这个三角形的内接正方形的面积最大（除钝角三角形，因为钝角三角形只有唯一的内接正方形）。
证明: 可以不失一般性的设△ABC的三条边边长分别为 ，相应的高分别为 ，边落在BC、AC、AB上的内接正方形的棱长分别为 ，设 ，△ABC的面积为S。
∵ S= ， ，
∴ ，
根据结论1可以求出内接正方形的边长
∴ ，
∴ k= ，
同理有
m= ，n= ，
∵ ，
又b-a＞0，2abS＞0，2S-ab=ax-ab=a（x-b）＜0（因为x＜b），
∴ ，
同理可证
，
∴
证毕
定理3 如图10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形EFIJ是其内接正方形，另外两个正方形也是两个小三角形的内接正方形，边长分别为 ，则有 。
证明：由四边形EFIJ是Rt△ABC的内接正方形，同时另外两个正方形也是小三角形的内接正方形，
∴ GH⊥BC,FI⊥BC, DK⊥BC,
∴GH∥FI∥DK，
易证 △BGH∽△BFI∽△AIJ∽△DCK，
∴ ⇒ ，
即 ⇒ 。
证毕
5圆的内接正方形的作法
5.1圆的内接正方形的定义
正方形的四个顶点都在圆上的四边形就叫做这个圆的内接正方形。
5.2作法
如图12
做圆 的直径AC
再做直径BD，使BD垂直于AC
连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD 便是圆 的内接正方形
证明:由作法可知，直径AC和BD把圆 分成四等份，所以AB=BC=CD=DA,且∠ADC=90°，所以四边形ABCD是圆 的内接正方形。
5.3圆内接正方形的几个有趣的性质及其应用
定理1 任意一圆的内接正方形的边长于圆的半径之比是一定值
证明：如图13，四边形ABCD是圆 的内接正方形，设圆 的半径 =OB,易证△BOC是Rt等腰三角形，设正方形的边长为 ，根据勾股定理可得 ，所以a= 和 =- （舍去）。故
定理2 圆的内接矩形是以圆的内接矩形的面积为最大。
证明：如图14，四边形ABCD是圆 的内接矩形，圆的半径为 ，矩形ABCD的面积S=AC•CD= ，其中∠ACD= ， （0， ）