摘要：实际的金融市场中存在多种不同期限的利率。在定义最大累积函数的基础上建立了一个称为“收支问题”的线性规划模型，这个模型的最优值刻画了合理安排保费资金的投资期限所能够达到的最大保险支付水平，从而给出了多利率条件下寿险费率的计算依据。使用局部优化方法证明了收支问题最优解的两个性质，这些性质说明在满足保险支出的条件下，保险收入资金应该优先考虑期限较长（即利率较大）的投资。对于典型的寿险产品模型，给出了最优解的结构，针对两个具体实例列出了计算结果。结果表明，在保险费率的计算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一个综合水平。
关键字 多种利率；最大累积函数；线性优化；收支问题；寿险定价
1、引言
与随机利率下的大量研究相比，关于利率期限结构的影响在文献中却很少涉及，当市场利率水平较高的时候，这种影响并不明显。以中国为例，从上世纪八十年代末到九十年代中期一直处于高利率的环境之中，其中一年期的存款基准利率最高的时候曾经达到11.34%，在大部分的时间内都高于当时寿险业8.8%的预定利率，所以当寿险准备金采用一年期利率投资生息时，并不会影响未来的保险偿付能力，这时候就不会去关注利率期限结构的影响。但是自从1996年以来，由于宏观经济形势发生了很大的变化，人民银行持续地下调基准利率，一年期存款利率最低的时候达到了1.98%，导致保险监管部门将预定利率调低到了2.5%。由于新的预定利率与原来8.8%的水平有较大的差距，所以一度对寿险业务的发展产生了较大的影响，同时当一年期利率低于预定利率时，寿险公司原有的资金运用方法有可能会产生巨大的利差损失。考虑到一般情况下长期的利率要高于一年期的短期利率，因此就提出了一个问题：我们是否可以通过对寿险资金的投资期限进行合理安排以提高保险金的支付能力，或者说提高寿险公司的盈利能力？最大能够达到多少？
最优解中时间 的保险收入优先支付时间 的保险金支出，那么多余的收入是如何支付不足的支出？下面先来考虑一种特殊的情况。存在最优解 ，对于它的任意两个基变量 和 ，如果 ，则有 。
最近时刻的收入优先支付最远时刻的支出。时间 的收入首先支付时间 的支出，如果有盈余，则支付时间 的支出，如果有亏缺，则亏缺部分由时间 的收入来支出；最后时间 的收入支付 时刻的支出，如果有盈余，则支付 时刻的支出，如果有亏缺，则亏缺部分由 时刻的收入来支出。准确地说，最优解的基变量是， 取遍从 到 的每一个值， 取遍从 到 的每一个值。
我们能够清楚地描述IOP最优解的结构，即下列推论：
系3.1 存在最优解是的基变量，并且有：
(1) 取遍从 到 的每一个值， 取遍从 到 的每一个值；
(2) 取遍从 到 中的每一个值， 取遍从 到 的每一个值。
最优解的结构可以这样来描述： 时刻的收入优先支付 时刻的支出，最近时刻多余的收入优先支付最远时刻不足的支出。因而我们可以利用二分搜索法来计算最优值而无需求解线性规划问题。
2、多利率下的寿险定价
现在我们来考虑一般情况下的寿险定价模型。假设有一大群相同的保单，时刻 表示保单签发的时间， 为保单的终止时间。保险人在时间 的期望保险费收入为，当保险金额等于一个单位时，保险人按照保险合同在时间 所要支付的期望保险金为。为简单起见，在本文中不考虑附加保险费用。按照收支相等的原则，可以假设保险支出的资金全部来源于保费的收入及其投资利息，我们考虑下列线性规划问题：变量 表示在时间 的保险收入中将用于支付时间 的保险金支出的数量，由于时间 收入的资金数 在 时刻所能得到的最大本利和是 ，所以上述问题准确地刻画了通过合理配置保险收入（由 表示））的投资期限（由 表示）能够使保险金支出水平（用 表示）达到最大。而这个线性规划问题的最优值，则给出了多利率条件下保险费率的计算依据。在我们的定义中， 与被保险人缴纳保费的方式有关， 与寿险产品的设计有关。当这两个函数确定后，影响精算定价的就是。
3、应用分析
第一个例子是终身生存年金，保费缴付方式是年缴（等额），年金支付形式是每年领取（等额），并且有十年固定年金。每人都投保上述终身生存年金，共缴付 年。如果用时间1表示第一次缴费的时间（岁），那么在岁时生存者人在时间 所缴付的保险费为。由于 一般不是 的倍数，所以我们将初始时间前移 ，从 岁开始，生存者每年领取生存年金（具有十年固定年金），那么当年金金额为1个单位时期望的年金支出为： 上式中 表示的是生命表中的极限年龄。
我们称其最优值为最大年金。由于生存人数随着年龄增加而减少，下面是利用二分搜索法计算的年缴纯保费100个单位的最大年金表。
通过计算我们发现上述结果基本上与以最大期限的利率（本例中是5%）作为单一预定利率所计算出来的相同。原因是保险期比较长。因此在生存年金的费率计算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是说，资金的运用应该以利率最高的长期投资为主。
第二个例子是定期人寿保险，保费缴付方式也是年缴（等额），保险金即刻赔付。为了简单起见，我们假设保险期 是 的倍数，保险资金在一年之内是不计利息的（即最小计息期限是一年）。设年龄为 岁者 人，每人都投保 年期人寿保险，每年年初缴付保险费为 ，那么在时间 的期望保险费收入，当保险金额为1个单位时，期望的保险金支出则为
我们称之为最大保险金额，下面是利用二分搜索法计算的年缴纯保费1个单位时的最大保险金额表。与第一个例子有区别的是，由于有一定的变化，因此最大保险金额小于单一年预定利率5%所计算出来的结果，但是随着保险期的增大，其差距越来越小。当保险期在10年以上时，两者相差不大，这时候的情况基本上与终身生存年金一样，在费率计算中起主要作用的是最大期限的利率。而当保险期为5年时，由于变化不大，正如上一节末所提到的，费率计算的结果与利率的大小关系不大。10年保险期的情况则介于两者之间，不同期限的利率均起到了一定的作用。
4、结语
在本文中，我们应用线性优化的方法解决了在多利率条件下寿险费率的定价问题。命题3.1和3.2表明了这么一个事实，如果长期利率高于短期利率，那么保险收入资金的运用在满足保险支出的情况下应该优先考虑期限较大（也就是利率较大）的投资，因而在保险费率的计算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一个综合水平。这个结果也就意味着，在寿险资金的运用中，应该考虑以长期投资为主，这为预定利率的确立提供了可靠的理论基础。
参考文献
[11]王波. 多种利率条件下寿险费率的测算[J]. 上海, 上海保险，2002,197(3)：17,28.
[12]王波. 线性规划在寿险精算中的应用[J]. 北京, 数学的实践与认识，2006,36(11)：48-53
[14] Kellison,G.S. The Theory of Interest, 3nd edn[M]. Irwin/McGraw-Hill, 2009：2-41
原创文章，作者：sowenn，如若转载，请注明出处：https://www.diyilunwen.com/lwfw/jrx/9917.html
