【摘要】在本文引入线性空间、张量积的定义和性质，并全面地讨论了线性空间张量积的定义和性质，及其在线性空间中的应用。
【关键词】线性空间，张量积，双线性映射
引言
张量积，记为，可以应用于不同的领域中如模、拓扑向量、向量空间、向量、矩阵、张量。在各种情况下这个符号的意义是相同的: 一般的双线性运算。
我们经常会遇到 “双线性映射” 这种定义，比如内积就是一个双线性映射 . 我们想把 “双线性映射” 这种性质归属于向量空间范畴。于是，构造一个跟 W,V 有关的向量空间 Z，使得所有定义在 W×V 上的 “双线性映射” 都可以由 “唯一” 一个定义在 Z 上的 “线性映射” 来替代。因此，Z 就叫 V 和 W 的张量积。
后来，“张量积”扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定交换规则和结合规则的都可以看作 “张量积”，比如无交并，拓扑空间的乘积，集合的笛卡儿积，等等，都可以称为张量积。
因此，本文在线性空间范畴中研究张量积的定义和性质及其应用。
第1章 线性空间
1.1 线性空间的定义
定义1.1.1 设 V是一个非空集合，在集合V的元素之间定义了两种代数运算，分别为加法运算和数乘运算，并对此运算封闭.
加法满足下面四条规则：
；
；
0+α=α
（0称为V的零元素）；
α＋β=0
（β称为α的负元素）；
数乘满足下面两条规则：
1α=α；
；
数乘与加法满足下面两条规则：
；
.
1.2 线性空间的简单性质
零元素是唯一的；
负元素是唯一的；
0α=0；（-1）α=-α；λ0=0
如果λα=0 ，则 λ=0 或 α=0 .
1.3 维数·基与坐标
定义1.3.1 在n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基，设 α 是V中任一向量，他们是线性相关的，因此 α 可以被基线性表出：
其中系数 是被向量 α 和基 唯一确定的，则有α 在基 下的坐标为（）.
第2章 线性空间张量积
2.1线性空间张量积的定义
定义3.1.1 在域 K 上的两个线性空间 V 和 W 的张量积 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。
要构造 ，通过在域 K 上带有基 的线性空间，并应用(因子化生成的子空间)有下列线性关系:
其中， 是线性空间的向量，而 C 属于域 K。
我们可以推出恒等式
，
零在 中。
结果的张量积 自身是线性空间，它可以直接通过线性空间公理来验证。分别令 V 和 W 的基为 和 ，则有 的张量形成 的基。张量积的维数就等于最初空间维数的积.
例2.1 有维数 .
证明 设V的一组基为W的一组基为则有是的一组基,因而的维数为.
2.2线性空间张量积的构造
定义2.2.1 设F , E为两个线性空间，按加法和数乘规则，E×F也构成一个线性空间。记
则定义为在E×F上，且只在有限多个点（x,y）上取值不为零的复值函数全体。
按函数的通常加法及数乘，构成一个线性空间。为简单起见，如果函数只在有限个点处不等于零，而在其它点处都为零，则记
（2.2.1）
其中
按这种约定，对于任意的
表示只在三个点处取值不为零的函数，分别在处取值为1，在处取值为-1，在处取值为-1；
表示只在三个点处取值不为零的函数，分别在处取值为1，在处取值为-1，在处取值为-1；
表示只在两个点处取值不为零的函数，分别在处取值为，在处取值为-1；
表示只在两个点处取值不为零的函数，分别在处取值为，在处取值为-1.
令类元素的所有有限组合全体，N为的一个线性子空间.
定义2.2.2 记商空间为，称之为E和F的张量积，从到的自然映射为π，即，其中为χ所在的等价类.对于任意的
由上述可知：对于
于是对于形如（2.2.1）的，有这说明中的所有元素均可以表示成的形式，但表示形式一般不唯一。由下述定义知，为一个双线性映射。
定义2.2.3（双线性映射） 设M为一个线性空间，为一个映射，称为一个双线性映射，如果对于任意的有
定理2.1 （张量积的万有性质）设M为任意一个线性空间，如果存在为一个双线性映射，则必存在唯一的为线性映射，使得. 用交换图表示如下：
π E×F
φ ψ
M
证明 首先将按自然方式延拓成为从到M的线性映射：
则
同理可证N的其它生成元在的作用下也为零，于是存在线性映射,
使得
再证唯一性 设 是E、F的张量积，则由张量积的定义知
由上图不难得出，（表示线性空间M的恒等变换）
同理
所以，.
2.3线性空间张量积的基
定理2.2 设 分别为E，F的基，则
为E⊙F的一组基，因此有dim(E⊙F)=dim E·dim F .
证明 (1) 对于任意的可设
于是
即E⊙F中的所有元素都可以用∧中的元素线性表出.
(2) 设为一列复数，使得
于是，，其中 （2.3.1）
对于任意的线性泛函定义，则易证：为一个双线性映射，于是存在E⊙F→E为线性映射，使得
（2.3.2）
现取为线性泛函，使得
则由（2.3.1）和（2.3.2）知（注意线性无关）
同理可证其它的也都等于零。
证明 (1) （张量积交换律）
(2) （张量积结合律）
证明 设是域F 上有限维线性空间，其中分别取基我们有同构映射
设分别是的基. 定义
为
显然，即为所要的同构映射.故 .
（2）设,分别是的基. 定义
为
.
即为所要的同构映射.故 .
由此可以得出一般形式：在考虑多个线性空间的张量积时，可以不用括弧，设 是 m 个线性空间，则有张量积：
参考文献
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[5] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000
Tensor product of linear space
Longyan college Mathematics and applied mathematics
2010031512 Yuan de zhang Instructor:Zhou jin sen
[Abstract]Linear space is an abstract concept, it is to promote the concept of a vector space. Linear space is introduced in order to solve the problem of the vector, which is an abstract object of a class in terms of volume, and then to solve the problem through research linear vector space. Introduction of linear space in this article, the definition and nature of the tensor product, and comprehensive discussion of the definition and nature of the tensor product of linear space, and linear space applications.
[Keywords]Linear space; Tensor product; Bilinear mapping.
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