【摘要】本文研究了矩阵中一类重要的矩阵-循环矩阵，介绍了循环矩阵的性质，讨论了循环矩阵求逆的方法，并且针对循环矩阵的对角化以及循环矩阵的应用等问题作了进一步探讨。
【关键词】循环矩阵; 逆矩阵; 对角化
1.引言
循环矩阵的概念是 于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, Good等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究[1].自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家热于探讨的课题.
近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究方向. 循环矩阵之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为它是一类特殊结构, 具有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵， 同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图像数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛. 同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现. 对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向.
在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的, 但目前循环矩阵的理论还不是很完善, 所以数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续. 其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.在对文献进行深入讨论和研究的基础上，本文详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论, 重新证明了以往的部分结论, 继续研究了循环矩阵的各种性质，并且对循环矩阵的逆矩阵和对角化问题也进行了研究探讨，最后给出了循环矩阵的相关应用。
2 循环矩阵的定义
定义2.1 形如
的矩阵称为循环矩阵．
若 为实数域 上的 个数，称矩阵 为实数域上的 阶循环矩阵，简记为 ；
若 为复数域 上的 个数，称矩阵 为复数域上的 阶循环矩阵，简记为 .
定义2.2 形如
的矩阵称为基本循环矩阵．
显然 （ 阶单位矩阵）都是循环矩阵。由文献[4]可知任意的 阶循环矩阵 都可以用 线性表出，即
从上可知如果令 , 则 .称 为 阶循环矩阵 的生成多项式.
3 循环矩阵的性质
性质3.1 设 都是数域 上 阶循环矩阵, 数 , 那么 , 也都是 阶循环矩阵.
性质3.2 两个循环矩阵 的乘积仍为循环矩阵，且 ．
性质3.3 任一循环矩阵 在复数域上都与一个对角矩阵相似.
性质3.4 可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵．
证明 由矩阵可逆的定义，我们只要找到可逆的循环矩阵
其中( 为待定系数)使得 , 其中 为可逆的循环矩阵.
设
则有
由于 , 则有下列方程组成立
（3.4）
其中 为未知数.它的系数矩阵为 ( 表示 的转置矩阵). 由于 可逆, 其中 , 所以方程组 中有且仅有唯一的解 , 即 唯一存在, 从而这样的 就是 的逆矩阵, 且 也是循环矩阵.
性质3.5 可逆的循环矩阵 的伴随矩阵 .
证明 因为 是 阶可逆的 , 所以 , 因此由性质3.4知,
是 . 由此
所以 是循环矩阵.
4.循环矩阵的逆矩阵
定理4.1 循环矩阵 可逆的充要条件是 的生成多项式
无单位根.
证明 构造取
其中
, .
即 为所有 次单位根. 由于 两两不同, 所以由范德蒙行列式的性质知矩阵 是可逆的, 从而
其中
因此只要 .则 , 即矩阵 可逆. 即循环矩阵 可逆的充要条件是方程
无单位根.
定理4.2 设 维向量 ,如果方程 的解为 ，那么
．
例1 求矩阵 的逆矩阵.
解 因为
的解为
．
从而
．
定理4.3 ，其中 为 阶矩阵，则
（1） 和 ．
（2）如果 和 可逆且 的逆为
，
那么
． （4.3）
根据定理4.3的（2），求 阶 的逆可以进行分块矩阵计算，分块的根据是以
阶顺序主子式为一块，共分成四块，这样就可以将 阶 的逆转化成一个 阶 的逆，从而给问题的解决带来很大的简便．
例2 求 的逆矩阵．
解 根据定理（4.3）的结论（2），将矩阵 分块为
其中， , , 可逆，
那么
= ，
从而
于是
．
5.循环矩阵的对角化
阶矩阵 关于多项式函数 生成的矩阵为 ， 的特征根与的 特征根有下面的结论 ：
结论5.1设 是一个 次多项式函数，若 是矩阵 的特征根，则 是矩阵 的特征根．
结论5.2设 是一个 次多项式函数，若矩阵 相似于矩阵 ，则矩阵 相似于矩阵 ．
考察 阶循环矩阵 ， 的特征多项式为：
如果 阶 记为 ，不难求得 与特征值 相应的特征向量，记：
，
则
得
可以验证
将这个两两正交的向量 单位化，可得标准正交基
令矩阵
则
．
于是有下面的结论：
结论5.3 任意 在复数域 ，即
．
在一类 ，如果对角化的矩阵为：
由结论5.3，只要令 即可得 个关于 的线性方程组．又由于矩阵 及特征根 由 阶矩阵 确定，且 ．所以，多项式函数 中的系数 是唯一的 ．于是，循环矩阵 是唯一的．因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定有且仅有一个循环矩阵．否则，就不对角化.
下面给出一个四阶循环矩阵的实例：
例3 求四阶 的特征根，并对角化.
解 令 得
，
由于
，
所以， 的特征根分别为：
其中，
，
可以验证
．
6.循环矩阵的应用
定理6.1 阶矩阵 可以对角化的充要条件是 相似于一个 阶循环矩阵．
证明 一方面，若 阶矩阵 与循环矩阵 相似，由于 可以对角化，所以 也可以相似对角化．
反过来，若 阶矩阵 可以对角化，总存在 阶循环矩阵 与之相似．
事实上，设 ，若能得到 的生成多项式则 就被唯一确定了．结合定理4.1的证明过程，令
．
即
其中， ．
这个非齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式，从而不等于0，于是该方程组有唯一解 ，则 被唯一确定．
此时
=
即
, 从而 ,
所以存在循环矩阵 与矩阵 相似．
7.结束语
本论文更加系统的描述了循环矩阵的性质及其应用。 从循环矩阵的定义出发, 把文献中分散碎化的内容加以总结整理，更加系统全面的总结了循环矩阵的性质，对循环矩阵的部分性质进行了重新的证明, 然后介绍了循环矩阵的逆矩阵的求法和对角化问题。最后给出了一种矩阵对角化方面的应用，它提供了一种矩阵可对角化的条件，利用循环矩阵判断矩阵是否可以对角化。
循环矩阵在物理、数学、计算机等学科有着广泛的应用，本论文为循环矩阵的深入研究提供了比较系统全面的基础。
8.致谢
经过一个多月的时间，在姜东华老师的严格要求下终于完成了论文。在写论文的过程中得到了姜东华老师的精心指导，在此要向老师表示深深的感谢和崇高的敬意，谢谢老师总是在百忙之中抽出时间来为我解答过程中的疑问。此外还要谢谢我的室友和同学在我写论文过程中的帮助和支持。
由于自己知识所限，不免会有不足之处，请老师指正，帮助我更加进步。最后谨向所以帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意。
参考文献：
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[10] 王萼芳．高等代数教程[M]．北京：清华大学出版社，1996．121-125.
Properties and applications of Cyclic matrix
CAO Hui-bin 2010031540 Advisor:JIANG Dong-hua
Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science
【Abstract】This paper studies the matrix of a kind of important matrix – cyclic matrix, this paper introduces the properties of cyclic matrix, discuss the method of cyclic matrix inversion, and the cyclic matrix diagonalization and cyclic matrix application problems are discussed.
【Keywords】Cyclic Matrix; Inverse Matrix; diagonalization
原创文章，作者：sowenn，如若转载，请注明出处：https://www.diyilunwen.com/lwfw/dianda/6874.html
