【电大毕业论文】行列式的若干应用

【摘要】行列式的应用在数学研究中具有很重要的作用，而且应用非常广泛。本文从以下四个方面进行了描述：行列式与线性方程组的关系和行列式在线性方程里的应用；行列式在数学分析中的应用；行列式在初等代数中的应用；行列式在解析几何中的几个应用；如求曲线方程，三维空间中的应用等。

关键词：行列式；线性方程组；矩阵；二阶导数：解析几何

0 引言

　　行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,行列式概念的提出可以追溯到十七世纪晚期，行列式的雏形是由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作或者。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具之一，在讨论线性方程组理论，数学的许多分支和工程技术中也有着广泛的应用。本文重点总结了行列式在线性方程组、数学分析、初等代数、解析几何四个方面的应用。

1. 行列式在线性方程组中的一个应用

　　如果n元线性方程组

，即 （1）

的系数行列式，那么这个方程组有唯一的解

，

其中是用常向量取代的第列后所得到的矩阵的行列式，

证明：因为，所以A可逆，方程有唯一的解。下面只要证明。 （2）

事实上,

将按第列展开得

故（2）式得证。

将方程组（1）的解按分量写出来就是：

例1 解方程组

解 系数行列式。

①当且时，方程组有唯一解;

②当时，，方程组有无穷多解，其基础系数，方程组的所有解是

③当时，，方程组有无穷多解，其基础系数，方程组的所有解是

2 行列式在数学分析中的应用

　　例2.1 设在上连续，在内存在二阶导数，证明在上有

其中，存在，使得

。

　　证明：在上构造函数

则在上连续，在内存在二阶导数，因为

由微分中值定理知，存在

使得

再用一次中值定理，存在，使得

展开行列式得

取

则有相应的，使得上式成立，即

化简得

3行列式在初等代数中的几个应用

3.1 用行列式分解因式

　　用行列式分解因式就是将多项式用行列式表示出来，并且通过行列式的化解来达到分解因式的目的。下面就用例题来说明。

　　例3.1.1 分解因式。

　　解 原式=

即

3.2用行列式证明恒等式

　　用行列式证明恒等式主要是应用行列式的几个性质，比如在行列式里有两行相同则它的值为零，有一行是零的值也为零等，本节就是利用这些性质来证明恒等式成立，下面就用例题来说明。

　　例3.2.1 已知，求证。

　　证明： 设，

则

即

4行列式在解析几何中的几个应用

　　行列式有哪些几何意义？处理什么几何问题时可以用行列式？

4.1用行列式表示公式

　　设是两个平面向量，它们在直角坐标系中的坐标分别为向量积的模为

当不共线时，表示以为邻边的平行四边形的面积。

4.1.1用行列式表示三角形面积

　　平行四边形ABCD。设三个顶点坐标分别是，则

而

所以

则以A，B，D为顶点构成的三角形的面积为

　　例４．１ 设三角形三个顶点A，Ｂ，Ｃ的坐标为

求此三角形的面积：

利用结果，计算四个顶点坐标为的四边形的面积。

　　解　（１）三角形面积为对应的平行四边形的面积的一半，由

则所求的三角形面积为

　　设四点坐标为，则四边形ABCD的面积可分为三角形ABC和ACD的面积之和。由（1）知

所以

4.2行列式在几何平面中的一些应用

　　例4.2.1 已知平面上三个点（1,1），（2，-1），（3,1），试确定经过这三个点且对称轴与y轴平行的抛物线方程。

　　解 设经过三点的抛物线方程为,其中a,b,c是待定常数。

由题意有，这是一个关于a,b,c的三元一次方程组，系数行列式

由克莱姆法则知，方程组有唯一的解。

，，

所以方程组的解为

故所求抛物线的方程为。

　　例4.2.2 证明三条不同的直线

相交于一点的充要条件是。

　　证明：必要性.设所给三条直线相交于一点，则

可看做齐次方程组

的非零解，从而其系数行列式满足

因为三条直线互不相同，所以a,b,c不全相同，且a+b+c=0.

充分性.如果a+b+c=0，则将方程组（1）

的第一、二两个方程加到第三个方程，得同解方程组（2）

若方程组（2）的系数行列式，则.由得

于是，从而.不妨设，由得，再由得c=0，与已知矛盾。故方程组（2）的系数行列式不为零。由Cramer法则知，方程组（2）有唯一的解，从而方程组（1）有唯一的解，即题中三条不同直线相交于一点。

4.3行列式在三维空间中的应用

　　例4.3.1 历史上欧拉提出了一个这样的问题：如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？下面用向量代数及行列式的知识来解决这个问题，并计算棱长分别是10米，15米，12米，14米，13米，11米的四面体形状的花岗岩的体积。

　　解 设A,B,C三点的坐标分别为，并设四面体OABC的六条棱长分别是

由空间解析几何知，四面体体积V等于以向量为棱的平行六面体体积的，即

平方得

由于行列式转置后其直不变，将第二个行列式转置后再相乘，得

由向量数量积的坐标表示及数量积的定义得

又根据向量数量积的运算及余弦定理得

同理

将以上各式代入中，有

这就是利用四面体的六条棱长计算四面体体积的欧拉四面体求积公式。将米，米，米，米，米，米代入上式得

故花岗岩的体积近似为

总结

　　本文研究了行列式在数学中不同方面的应用，主要是根据行列式的一些性质来解决或化解这些问题。主要结论如下

　　①用行列式求解线性方程组是应用了行列式的定理（线性方程组的系数行列式，则方程组一定有解，且解是唯一的）。

　　②行列式在数学分析中的应用。（将在所给的区间内构造行列式，然后再利用行列式的性质来展开行列式，得到所求的函数。）

　　③行列式在初等代数中的应用.如:在因式分解、证明恒等式成立。（应用拉普拉斯定理：任意取定的行（列）位于k行（列）上的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于。）

　　④行列式在解析几何中的应用.如: 用行列式表示公式； 行列式在平面几何中的应用；行列式在三维空间中的应用。

参考文献

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【2】 秦松喜,高等代数新编,福建：厦门出版,2005

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【5】 朱世平主编,孙映成,史雪荣,副主编,线性代数,北京：化学工业出版社,2011

【6】 谢政,陈挚,线性代数学习指导,北京：清华大学出版社,2012

【7】 方波,线性代数及其应用,北京：高等教育出版社,2011

【8】 大连理工大学城市学院基础教学部,大连：大连理工大学出版社,2011,21

【9】 孙宗明,高等代数的内容与方法, 兰州：兰州大学出版社,1990

【10】 天津大学数学系代数教研组,线性代数及其应用,北京：科学出版社,2007

The Number of Applications of The Determinants

Abstract

The determinant application has the very vital role in mathematics research.Moreover applies extremely widely.This article has carried on the description from following four aspects.Determinant and system of linear equations relations and determinant in linear equation application; Determinant in mathematical analysis application; Determinant in elementary algebra application; Determinant in analytic geometry several applications; If asks the equation of a curve, in three-dimensional space application and so on.

Keywords:Determinant;linear equations;Matrix;Second time derivative;Analytic geometry