【摘要】幂指函数是一类非常特殊的函数，它的极限求法是极限问题中的难点. 本文总结了幂指函数求极限的一般方法，运用重要极限及其推广公式、洛必达法则、等价无穷小替换要极限等技巧来求幂指函数极限。
【关键词】幂指函数；极限；重要极限;无穷小替换
1.引言
我们将形如的函数称为幂指函数. 由于幂指函数是一类很特殊的函数，幂指函数的极限类型也很多，所以幂指函数的极限求法一直是极限问题中的难点，在考研数学和期末统考中也经常出现幂指函数求极限的题目，但是关于幂指函数极限的求法在教材上没有给出系统的讲解，并且幂指函数极限的计算方法多种且复杂难以掌握. 本文总结了幂指函数求极限的一般方法，并运用重要极限及其推广公式、洛必达法则、等价无穷小替换等技巧来求幂指函数极限. 希望通过这篇文章可以帮助我们更好地掌握幂指函数极限的求解方法.
2.幂指函数极限计算方法
2.1 型的极限求法
定理1[1] 若存在有限的极限，且,则有
.
（定理 1中的变化过程有，并且的变化过程是一样的.）
证明 ：只对的情况进行证明，同理可证其它情况.
令,又,两边同时取对数得, ,从而
,
令,,即当时, .
再令, ,
, 即当时,于是
.
例1 求.
解：由于
=,
.
由定理1可知
=.
例2 求.
解：虽然函数=的定义域区间内没有,但=1，，故有==1.
2.2 利用重要极限及其推广公式求极限
2.2.1利用重要极限式子
我们解决不易理解掌握的幂指函数型的幂指函数的极限求值，就要利用重要的极限，一般要把幂指函数变成( 为实数)的形式.[2] 然后利用幂函数的连续性得：.
我们还会经常运用到指数的运算律有：
、、.
例3 求极限.
解：= = =. 例4 求极限.
解：
.
2.2.2 利用重要极限的推广公式
我们先来看一个例子
例5 求极限.
解：====.
显然这样求解过于复杂，下面给出重要极限的推广公式，可以利用这一推广公式更快速的求出极限.
定理2[3] 若当时，，，则有
.
其中为无穷大或某定值.
证明 :
=
=.
有了该公式，型极限问题就不需要利用来求解，而直接求解的极限就可以. 该推广公式比的一般推广意义更大，对未定型型极限的求解更为简单方便[4] .
例6 求极限.
解： 当时,，,
= =，
所以 =.
2.3 应用洛必达法则求极限
定理3[5] 若、满足以下三个条例：
（1）当时，函数及都趋于0或；
（2）在点的某去心领域内，及都存在且；
存在（或为无穷大）.
则.
对幂指函数的极限，可以把幂指函数取对数化为型，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解.
例7 求极限.
解：这是型.
= .
而，所以=e.
例8 求极限.
解： ====.
2.4 无穷小替换
2.4.1 中的等价无穷小代换
引理1[6] 设,为某变化过程中的无穷小.若～ ,则.
证明: ～，所以
，
从而有.
定理4[7] 设，和，均为无穷小. 若～ ,～ ,且,则有.
证明: 因为～ , 所以.
不论哪一种情况,都有
,
此定理4说明,当= 时, 中的和均可以替换成等价无穷小和 .
例9 求极限.
解：当时，，.
== .
2.4.2 中的等价无穷小代换
型极限可变换为 ,其中0和均为无穷小,由定理4可得定理5.
定理5[8] 设 0， 0和， 都是无穷小.如果～ ,～ ,且，.
此定理5说明，当时，和可用 和等价无穷小替换.
例10 求极限.
分析：由于，，即极限呈型.
解: 当时，. 由定理5，得
=.
2.4.3 中的等价无穷小代换
型极限可以写成,其中，均为无穷小.
引理2[9] 设,为无穷小，若，则有.
证明: 因为
,
.
所以
.
定理6[10] 设 均为某变化过程中的无穷小. 若，，且
,则有
.
证明: 因为，所以.
.
这说明，当时，中的无穷小量，可代换为等价无穷，.
例11 求极限.
分析：因为，，即极限呈型.
解：当， , 时，，由定理6，得
.
2.5 利用微分中值定理
定理7[11] 如果函数满足：
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间内可导.
那么在内至少有一点，有等式
.
例12 求极限.
解：.
对在区间上使用定理7，得
，
其中，故
.
因为，而，，故，所以
原式=.
3.总结
现在我们已经掌握了求函数极限的一般方法，如利用重要极限式子、洛必达法则、等价无穷小代换定理等，现在我们只要学会把这些求极限的一般方法推广到幂指函数的极限问题中.
型的幂指函数只要把极限带进去直接算即可，而对于型的幂指函数则运用取对数、洛必达法则、重要的极限和重要极限的推广式求极限，较复杂的型蜜汁函数可以转化成别的不定式形式再计算其极限
参考文献
[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学上册(第五版)[M].高等教育出版社.
[2] 刘小华.关于幂指函数求极限的问题[J].高等数学研究,2008,l1(5):5-6．
[3] 程裕强．型幂指函数极限的一般公式[J]．中国科技博览，2012，(35)：160—160．
[4] 张勇军.一类幂指函数求导公式的推导[J].海南大学学报(自然科学版),2012,3（2):107-109.
[5] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社.
[6] 冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报,2006年10月.
[7] 宋振云.无穷小替换在求型极限中的应用[J].高师理科学刊,2009,29(4):76—78.
[8] 侯云畅.高等数学学习与考研指导[M].北京:国防工业出版社,2006.
[9] 王萍，杨培国.谈谈如何求幂指函数的极限[J].上海工程技术大学教育研究,2005年3月.
[10] 张芳.无穷小量在型极限中的应用.高等数学研究,2005,25—26．
[11] 东北三省高师教材协编组.数学分析.长春:吉林人民出版社,1981．
原创文章，作者：sowenn，如若转载，请注明出处：https://www.diyilunwen.com/lwfw/dianda/6479.html
