基于微分博弈的房屋定价模型

摘 要

伴随着住房体制改革，房屋商品化及土地有偿使用，使我国房地产业迅速发展和壮大。其中房价是调节房地产业利润和促进房地产经济迅速发展的有利杠杆。然而，房地产业近年的快速发展也引发了一系列问题，其中最为突出的就是高房价问题，把其从民生产业转变为谋求暴利的产业。高房价问题不仅是房地产市场本身的扭曲，而且也将影响我国的可持续发展、社会稳定和国家经济安全。美国的金融危机也是由房产泡沫引起的，可见房地产业对整个国家的经济起着至关重要的作用。因此，确定正确的定价模型，对开发商在竞争中处于有力地位，进而促进我国房地产业的健康发展具有重要意义。目前比较常用的房屋定价模型多为静态的定价法，即短期内不改变房屋价格，可是这已经很难适应现今瞬息万变的房地产市场。
本文引入房价的微分状态方程，同时考虑时间变量，通过确定政府与房地产商的决策变量及支付函数建立两者间的主从微分博弈模型。并通过构造两者的HJB方程使用逆向归纳法对模型求解。得到了政府的最优决策 及房地产商的最优决策 的值，进而确定房价的值 。并且通过数值仿真图像可以看出房价将成下降趋势，而政府的决策变量补偿支付(税收)及房地产商的的决策变量供房量将成上升趋势。

关键词：房地产；定价模型；微分博弈模型；最优决策

第1章 绪 论

住房作为每个公民的基本生活需求，不仅是民生需要，也是我国经济与社会得以健康协调发展的基本要求。党的十六大提出了全面建设小康社会的奋斗目标，其中住房成为了小康社会的关键指标。然而，近年来国内房价的持续走高，特别是一线城市住房价格已远远高出居民收入水平，使得很多居民只能“望房生叹”。房价问题成为了社会各界关注的焦点，怎样控制房价也成为了各方讨论的重点。
在市场经济的环境下，价格是调节供应关系的重要工具。价格机制对供求各方的相关利益主体的行为模式也具有重要的调节作用。在中国的现代化与城市化的背景下，房价问题不仅关系到广大民众的切身利益，和谐社会的构建，也直接关系到房地产业及宏观经济的健康可持续发展，因此研究房价问题具有重要的现实意义。
房价问题的关键是怎样合理定价，从而确保居民和房地产商的利益得到均衡考虑。房价定的过高使买房者无力购买从而降低了房地产市场的交易效率，房价过低使开发商无利可图，因此降低了土地的开发率，使得土地不能合理使用。因此准确的定价模型是解决问题的关键。
现代房地产定价理论起源于英国，其早在1884年便出版了房地产定价著作，详细论述了收益法，在之后的近百年中，该方法几乎没有什么变动。20世纪20年代以来，西方发达国家进入了城市化高速发展时期，推动房地产业空前繁荣，进而推动房地产定价研究的发展，主要有以下研究成果:
Fisher在1923年发表的《房地产原理》[20]和Bobcock在1924年出版的《房地产估价》[21]里提出了房地产定价基础——房地产价值论。
Mertzke于1927年发表了《房地产评估过程》[22]，指出了不同定价方法的相互验证的理论基础。其后，Hyder、Atkinson和Schmutz分别提出了市场比较法、收益法和成本法，使这三种定价方法更加实用和完善。
由于房地产价格受区域影响较大，所以各个国家和地区房地产定价方法的发展和使用也各不相同。国外房地产定价主要分为两类，一是以英国为主的英联邦国家，采用市场比较法、收益法、成本法、利润法和剩余法。这些方法在定价时注重经验、市场信息，忽视数学模型的运用。其学者认为在市场发达的情况下，根据市场信息定价更为可靠。二是以美国为主的北美、日本等国，采用市场比较法、收益法和成本法。在定价时注重技术、计量和数学模型。相关学者认为，通过建立数学模型定价更为公平合理。
我国房地产定价理论始于20世纪30年代，在这一时期主要是介绍国外的房地产定价理论，对房地产定价有了初步的研究但尚未形成自己的独特定价理论体系。改革开放以后，我国经济迅速发展，房地产业得到了空前繁荣，房地产定价问题的研究对房地产业的发展有着重要的现实意义，因此房地产定价逐渐成为热门问题，越来越多的房地产研究人员在这个问题上进行了研究。
房地产定价过程最早采用的是成本导向定价法和市场比较定价法，但这两种方法均存在局限性，如在进行地区因素及个别因素的比较中带有较强的主观性，不同的估价人其修正系数也各有差异。刘晓军，尚鹏[1]通过对模型的改进，引进一元线性回归分析处理了两个变量之间的关系，从而能更准确的确定待定房地产价格。 王珊珊，于雯媛[2]通过收集实证调查来的武汉地区顾客购房倾向因素的数据，运用AHP综合评价法将各影响因素进行排序，然后基于市场比较定价法，通过专家打分得到各因素的分值，标准化后乘以调查房地产的均价，最终得到竞争量化的房地产定价模型。由于在进行市场比较的过程中会受到许多不确定的模糊因素影响，陈江红，李启明[3]通过结合房地产定价中的实际案例，对市场比较法进行了优化改进，保留了所有的相关信息，从而更加全面地考虑了各个因素的影响，进而得到了更为精确的房屋价格。
近年来国内外较常用的房屋定价模型为特征价格模型，即Hedonic模型。该理论认为消费者愿意为每一件商品支付的价格取决于他能够从商品的各种属性中获得何种程度的享受。马思新，李昂[4]考虑了住宅市场的发展及影响其价格的因素，筛选了对房价影响最大的几个因素，应用Hedonic定价理论构建了北京市商品房价格模型。司继文，韩莹莹等[5]采用特征价格模型对美国一线城市的房价进行了相关定价研究，并且对传统的属性因子进行了扩充，加入了犯罪率因子对房价的影响，同时将BP神经网络的算法应用到模型的数值求解中，结果表明房价随犯罪事件的类型及发生距离房地产的远近有-5.78%-2.08%的变化。宋永发，王颖等[6]将主成分分析法与特征价格模型相结合，对房地产项目的销售均价进行定价，解决了分析样本数据过少，部分特征属性间相关性强的问题。
刘尔思，丁一[7]也通过考察中心城市房地产价格各种构成因素对定价的影响，建立层次分析模型，确定权重并利用灰色关联分析方法评估目标相似程度，以确定这些因素对目标定价的影响程度，最终确定楼盘均价。
房地产业的健康与否，直接影响着金融泡沫的产生，这种影响是相互的。张淏铭[8]借鉴资本资产定价模型（CAMP）,建立综合评价的模型来测定并说明大连房地产行业的泡沫显现。龚朴、高原[9]在研究美国次贷危机时给出这样的结论：在投资者的“美好”预期无法持续时，可能诱发金融危机。而对开发商来说，这种“美好”的预期就是房价持续的走高，一旦达到某一界限时就可能是引发金融危机的导火线。所以开发商对房屋的正确定价不仅是对企业的健康发展而且是对我国金融体系的健康稳定都是具有重要意义的。
论文的主要内容
本文从政府建立合理的房价规制的角度出发，通过确定政府及房地产商的决策变量，建立政府与房地产商的主从微分博弈模型，通过求解模型并进行数值仿真得到相应结论。
本文共分为五章，全文内容如下：
第1章，绪论。主要介绍研究的目的与意义，并对国内外研究进行文献综述。
第2章，房价的影响因素。先通过引入我国1987-2012年我国房地产各指标的数量变化分析影响房价变化的主要因素。
第3章，模型的理论基础。本章主要对主从微分博弈模型进行理论概述，并介绍其基本性质，为下一章房价模型建立打下理论基础。
第4章，房屋定价的微分模型构建及实证。通过分析政府和房地产商的战略选择，支付函数建立主从微分博弈模型，通过求解得到房价的值。
第5章，结论。通过第4章的结果得到相关结论。

第2章 影响房屋价格的因素

2.1 我国房地产业的走势及特征
我国进入改革开放开始，城镇化建设一直没有止步。随着人们生活水平的提高小康步伐的迈进，房地产业也在日渐兴旺发展起来。我国房地产业从起步到发展壮大只用了短短几十年时间。在这期间无论是居民对住房的需求量和房地产商的开发量都有了巨大的变化。其中房价也是翻了好几番。根据国家统计局公布的1987-2012年我国房地产业的相关数据，通过图像我们可以看出我国在这期间的房屋销售面积如图2.1及房价的涨幅情况如图2.2、2.3。

从图中我们可以明显看出，在这20几年时间里我国的商品房销售面积和房价都在急速的上涨，这与我国的城镇化进程提速及我国居民消费水平的提高是密不可分的。下面将根据房地产本身的特点分析影响房价的主要因素。
房地产与其他商品相比，包括房地产价格和其他经济物品价格有许多不同的特征。
第一，房地产具有不可移动性，因此决定其价格具区域性市场特征。每个房产的交通、日照、周围环境与其他地方的距离等均有一定的状态，因此每宗房地产都具有独特的自然地理位置和社会经济位置，从而使房地产有区位优劣之分。所以，房地产市场不存在全国性市场或者全球性市场，而是一个地区性市场。其价格水平、供求状况和价格走势等都是在不同地区之间各有不同的。
第二，房地产具有唯一性，可替代性较差，从而决定了其价格存在竞争性。房地产的不可移动性决定了其唯一性，即房地产不像机器制造出来的商品那样整齐划一，也就是说没有两个完全相同的房地产。从而使房地产之间不能实现完全替代，房地产市场不能实现完全竞争，房屋价格也存在千差万别，并且容易受房地产商个别行为的影响。此外，房屋交易过程中很难采用样品交易的方式，必须要实地观察。有时一些房地产之间仍然存在一定的替代性，从而彼此有一定的竞争性，因此价格上也存在一定的牵制。市场比较定价法正是基于这一点建立的。
第三，房地产寿命长久性，给拥有者带来持久收益。土地具有不可毁灭性，房屋一经建造后通常有数十年的寿命。由于其长久性，可以给占有者带来持续不断的收益。
第四，房地产容易受到相关因素的影响。这主要表现为两个方面，一是相邻影响，即房地产的价值不仅与其自身的特征有直接关系，还取决于周围其他房地产价格影响，并且受周围环境、交通和学校等公共设施的影响较大。二是受政策制约性影响。世界上每一个国家和地区在房地产的支配和使用都有一定的限制。主要表现在以下三种影响：
(1)出台相关政策限制购房者购买房屋套数，对于购买第二套甚至更多的房屋会征收高额税收。
(2)征收各种房地产相关税收。这些税将作为开发商的建造成本中，最终以房价形式转移到消费者身上，这就从一定程度上影响了价格的变化。
第五，房地产具有一定的保值增值性，但存在一定的投资风险。对于一般商品随着时间的推移，商品价值会降低或完全丧失。但房地产更多的时候可以保存其价值，甚至会增值。影响房地产价格上升的原因有以下几方面：房地产本身的改良，如装修改造，改善物业管理服务水平；通货膨胀导致的房价上涨；需求旺盛导致稀缺性增加，如城市人口增加或城镇居民收入增加，房源紧缺；外部环境影响，如交通情况或周围设施的改善。另一方面，并不是所有房地产都会增值，对于一段时期来说，如供房量远大于需求量，经济危机时期，房地产就会贬值。
2.2 房屋价格影响因素
房屋的价格构成包含多方面的因素，要想对该房地产项目进行准确的预算，必须对土地成本、前期规划成本、工程成本、间接成本等几个方面进行详细的分析。当然分析的前提是该项目的面积、规划要点及容积率已确定，且建材市场行情相对稳定，价格无明显波动。
下面将从以下几方面来分析影响房价的各因素：
（一）供需不均衡时影响房地产价格不断上涨的根本原因
1.从供给角度分析
(1)我国耕地稀缺及土地所有制度导致住房尤其是商品房供给不足。土地归国家所有是我国房地产市场的一个独特之处。因此，土地的供应量由政府控制，从而导致我国用于开发的建设土地不可能无限供给。由于人们看到了土地供应的矛盾，更加剧了人们的购买意愿，使商品房的价格不断上涨。
另外，我国是个人口大国，有限的耕地面积更制约了用于住房建设的土地面积，加上有限的土地为保障13亿人口的粮食问题，必须保证耕地面积最低标准，用于住房建设的土地更加有限。
(2)地价上涨、建材成本提高、工程造价等增加导致开发成本过高。从供需角度看，商品价格主要取决于成本，房地产也不例外。