【摘要】行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域．本篇主要利用行列式的性质，对 维向量向量的向量积、混合积的定义、性质进行证明．
【关键词】 阶行列式；向量积；混合积
1.预备知识
1.1 级行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变．即
．
性质2
．
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式．
令 ，就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零．
性质3
．
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样．
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零．所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等．
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号．
例1 设 为四维列向量， ．已知 ，求
．
解 从 的第二、四列提公因子得
再对调行列式的第一、二列得
再对调行列式的第一、四列得
．
1.2 矩阵乘积的行列式与秩
定理1 设 ， 是数域 上的两个 矩阵，那么 ，即矩阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积．
1.3 标准正交基
定理2 对于 维欧式空间中任意一组基 ，都可以找到一组标准正交基 ，使 ， ．
定义1 级实数矩阵 称为正交矩阵，如果 ．
因此，由标准正交基到标准正交基的过度矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过度矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．
1.4 向量积与混合积的定义
定义2 两个向量 和 的向量积是一个向量，记作 或 ，它的模是
，
它的方向与 和 都垂直，并且按 ， ， 这个顺序构成右手标架 ．
定义3 给定空间的三个向量 ， ， ，如果先作前两个向量 和 的向量积，再作所得的向量与第三个向量 的数量积，最后得到的这个数叫做 ， ， 的混合积，记作 或 或 ．
2. 维向量的向量积
2.1 向量积的定义
定义4 设 是 维欧式空间 的标准正交基 ， 令
，
． 个向量 的向量积定义为
，
记作 ，其中 ．
显然 ．
下面来证明 ．由
，
，
，
，
， ， ，
，
故
，
从而
．
例2 证明范德蒙德行列式
对任意的 级行列式等于 这 个数的所有可能的差 的乘积．
我们对 作归纳法．当 时，
结果是对的．设对于 级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看 级的情形．
在 中，第 列减去第 列的 倍，第 列减去第 列的 倍.也就是由上而下依次地从每一行减去它上一行的 倍，有
后面这行列式是一个 级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差 的乘积；而包含 的差全在前面出现了.因之，结论对于 级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.
2.2 向量积的性质
命题1 设 和 都是 维欧式空间 的标准正交基， 是 的一个向量组，则
证明 设 则 设
， ，
令
由于
则 ．故
．
命题1.2说明向量积与标准正交基的选择最多差一个负号．因此，下面都取定 维欧式空间 的一个标准正交基为 ，并将 个向量 的向量积记为 ．
引理1 线性无关组的扩充组也线性无关，即若 线性无关，则 也线性无关．
由行列式的性质，我们有
命题2 若向量组 线性相关，则
证明 由引理１的逆否命题，知 ，这里的 ， ．所以
例 已知 维单位向量坐标 能由 一组向量表示，则可知向量组 线性无关．
证明 由题可知，存在常数 ，使得
则
或
其中， ，两端取行列式，得
故 ，因此，向量组 线性无关．
命题3 对于向量组 ，若 ,则
证明 已知 ，由行列式的性质3可得
．
命题4
证明 由行列式的性质7可得．已知
，
，
则
．
即，当 是奇排列的时候， ；同理可得，当 是偶排列的时候， ．
设 是 维欧式空间的一个线性无关组，经过标准正交化过程，可以得到 阶上三角矩阵
和标准正交基 使得 ，其中 ．
命题5 ．
证明 由
得
，
即
．
3. 维向量的混合积
3.1混合积的定义
定义5 设 是 维欧式空间 的标准正交基， 的内积记为
，
． 个向量 的混合积定义为
记作 其中 ．
显然， ．这是因为 ．
3.2混合积的性质
命题6 和 都是 维欧式空间 标准正交基， 是 的一个向量组，则
证明 设 则 设
．
令
则 ．故
命题6说明混合积与标准正交基的选择最多差一个负号．因此，下面都取定 维欧式空间 的一个标准正交基为 ，并将 个向量 的向量积记为
由行列式的性质，我们有
命题7
证明 根据内积的定义，这里只要等式左边按第 列展开即得到等式右边．
命题8 若向量组 线性相关，则
证明 由引理1的逆否命题，知 ，这里的 ， ．
例 在 中的 个向量， ， ，是线性无关的，而 ， 是线性相关的．
命题9 对于向量组 ，若 则
．
证明 已知 ，由行列式的性质3可得
．
命题10
证明 由性质7即可得证．
例 计算
．
解 通过交换行的位置，将 变为标准的范德蒙行列式．第 行经过 次交换后变到第一行；第 行经过 次交换后变到第二行；以此类推，经过
次交换后， 变成标准范德蒙行列式，即
．
记
， ， ， ， ， ，
则
．
设 是 维欧式空间的一个线性无关组，经过标准正交化过程可以得到 阶上三角矩阵
和规范正交向量组 使得
，
其中 ．
命题11
证明 由
即 ．
参考文献
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N order determinant and outer product, mixed product of n dimensional vector
Tian Tanfeng 2010031532 Advisor：Liu Hongjin
Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science
【Abstract】The determinant is a basic concept in algebra. It is not only a powerful tool to discuss the theory of linear equations, but also widely used in mathematics and other scientific and technical areas. This paper mainly we give the definition and properties of outer vector, mixed product by using the properties of determinant,.
【Keywords】n order determinant；The vector product；Mixed product；
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